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I. Force de pesanteur ; Notion de champ de pesanteur.

1. Discussion autour d'un document vidéo : Le marteau et la plume (The Hammer and the Feather)

Le document vidéo est téléchargeable sur le site de la Nasa :
http://www.hq.nasa.gov/office/pao/History/alsj/a15/video15.html

Source :NASA Pour enregistrer, click droit puis enregistrer sous

6,25 Mo

Lors de l'expédition lunaire Apollo 15 de 1971, deux astronautes David Scott et James Irwin séjournèrent sur la Lune près des monts Hadley durant 64 heures.

Ils proposèrent de faire l'expérience suivante en l'hommage de Galilée :

David Scott tient dans sa main droite un marteau et dans sa main gauche une plume.
Il lâche les deux objets en même temps et observe leurs chutes.

Regarder attentivement la vidéo.

Question discussion réponse :

- Qu'observe-t-on ?
- Sur la Lune, le poids de la plume est-elle égale au poids du marteau ?
- Sur la Terre, le poids de la plume est-elle égale au poids du marteau ?
- Si on lâche un marteau (ou un autre objet aussi lourd) dans la classe, tombe-t-il aussi vite que sur la Lune ? Faites l'expérience de la même manière que David Scott et concluez.
- La masse du marteau sur la Lune est-elle égale à la masse sur la Terre ?
- La vitesse de chute dépend-elle alors de la masse ?
- De quoi alors dépend la vitesse de chute ?

Réponse :

- On observe que le marteau et la plume tombe à la même vitesse et arrive en même temps au sol.
- Sur la Lune le poids de la plume est différent du poids du marteau.
- Sur la terre le poids de la plume est différent du poids du marteau.
- Expérience : si on lâche sur Terre le marteau dans les mêmes conditions que sur la Lune, on constate que le marteau tombe plus vite sur la Terre que sur la Lune.
- La masse, c'est à dire la quantité de matière, du marteau est la même sur la Terre que sur la Lune.
- La vitesse ne dépend donc pas de la masse.
- La vitesse de chute dépend d'une caractéristique propre à la Terre et la Lune : le champ de pesanteur. Ce champ de pesanteur dépend de l'objet attracteur (Lune ou Terre).

2. Position du problème : Quelle est l'influence de l'air sur la chute d'un corps ?

Question discussion réponse :

En vous aidant du simulateur de chute suivant (cliquez sur l'image) indiquer :

- comment montrer l'influence de l'air sur la chute du corps. Quels sont les paramètres à modifier ?
- les forces supplémentaires autre que le poids, agissant sur le corps selon les paramètres modifiés ci-dessus.
- comment évolue la vitesse en absence ou en présence d'air.
- comment évolue l'accélération en absence ou en présence d'air.

source : www.explorescience.com
pfaff@explorescience.com

Réponses :

- pour montrer l'influence de l'air sur la chute, il faut modifier les paramètres suivants : air density (densité de l'air) et wind speed (vitesse du vent)
- en modifiant la densité de l'air, on introduit la poussée d'Archimède ; en modifiant la vitesse du vent, on introduit les forces de frottements fluides.
- En absence d'air, la vitesse augmente linéairement ; en présence d'air, la vitesse croît pour atteindre une vitesse limite.
- En absence d'air, l'accélération est constante ; en présence d'air l'accélération diminue et s'annule.

3. Force de pesanteur.

Un objet qui se trouve au voisinage de la Terre subit une force de gravitation qui peut être assimilé à la force de pesanteur qui est appelée poids de l'objet.

Caractéristique du poids :

- direction : verticale
- sens : vers le bas
- point d'application : le centre d'inertie du solide
- intensité : P = mg

4. Notion de champ de pesanteur uniforme.

La Terre, comme tout corps possédant une masse crée un champ de pesanteur.
Le champ de pesanteur est caractérisé par le vecteur
Le vecteur dépend de la masse du corps attracteur et du lieu.

- En effet, le champ de pesanteur lunaire est plus faible que le champ de pesanteur terrestre. Si on monte à l'altitude de 10 km, la valeur de diminue de 3%
- De même dans le cas de la terre qui n'est pas sphérique (la Terre est aplatie aux pôles), la valeur de est plus faible à l'équateur qu'aux pôles.

Le champ de pesanteur est uniforme si le vecteur champ de pesanteur est le même en tous points du domaine d'espace où agit le champ.

Question discussion réponse :

Dans les deux cas suivants, le champ de pesanteur à la surface des objets est-il uniforme ?

Réponse :

Dans aucun des deux cas, le champ de pesanteur n'est pas uniforme car les vecteurs n'ont pas la même direction.

En coupe

On considérera toutefois, que le champ de pesanteur terrestre sera uniforme à un endroit donné de la surface de la Terre car la courbe de la Terre dans un laboratoire par exemple est assimilable à une droite.

Les vecteurs champ de pesanteur ont dans ce cas, même direction, même sens et même intensité.

II. Chute verticale avec frottements.

1. Expérience : chute d'un ensemble de ballons dans l'air.

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1,96 Mo

Un élève lâche un ensemble de 4 ballons lestés :

Volume total V = 2 x 2 + 2 x 0,6 = 5,2 L et la masse total m = 22,2 g

- On filme la chute des ballons à l'aide d'une webcam.

Réglages camera Philips ToUcam Pro :

- video format : 320 x 240
- video source : réglage entièrement automatique
- temps : 5 secondes
- vitesse d'obturation 1/250ème de seconde
- régler le gain afin que l'image soit claire.

Données :

Masse volumique de l'air m = 1,3 kg.m^-3
Intensité de la pesanteur g = 10 m.s^-2

Mise en évidence de l'évolution de la vitesse au cours du temps :

- On pointe la position d'un point du système (par exemple : le centre de l'un des ballons) avec le logiciel Avimeca2.
- On calcule la vitesse des ballons à l'aide du logiciel Regressi.
- On trace le graphe v = f(t) à l'aide du logiciel Excel.

Les modes d'emploi de ces différents logiciels sont donnés dans la partie TP.

On obtient le graphe suivant :

On constate que la vitesse atteint une vitesse limite vlim = 2,45 m.s^-1

On distingue deux régimes :

- au début, il y a une évolution de la vitesse, il s'agit du régime initial.
- A la fin, la vitesse devient constante, il s'agit du régime asymptotique (dit " permanent ")

On peut calculer le temps caractéristique t comme pour les circuits électriques, en traçant la tangente à l'origine et en déterminant l'abscisse du point d'intersection de cette tangente avec la droite d'équation v = vlim

Nous allons établir deux modèles à l'aide d'équations différentielles et discuter de la validité de ces modèles par rapport à la courbe expérimentale trouvée ci-dessus.

2. Equations différentielles du mouvement.

Deux équations différentielles peuvent être établies selon l'expression des forces de frottement
(cas d'une vitesse faible du mobile) ou (cas d'une vitesse élevée du mobile)

Etablissement de l'équation différentielle pour l'hypothèse :

- Système : ensemble des ballons lestés
- Référentiel : terrestre supposé galiléen
- Bilan des forces extérieures appliquées au système :

o Poids :
o Poussée d'Archimède :
o Force de frottement fluide :

- Application de le deuxième loi de Newton :

- Par projection sur l'axe z'z

Soit :

Expression de l'équation différentielle en fonction de v et de :

Etablissement de l'équation différentielle pour l'hypothèse :

Par le même raisonnement on obtient :

Expression de l'équation différentielle en fonction de v et de :

3. Résolution de l'équation différentielle par une méthode itérative (la méthode d'Euler).

Itérative : par répétition

Euler : Mathématicien et physicien du 18ème siècle a qui ont doit des travaux l'astronomie (orbites planétaires, trajectoires des comètes), les sciences physiques (champs magnétiques, hydrodynamique, optique, nature ondulatoire de la lumière,...), les mathématiques, où il met au premier plan le concept de fonction.

3.1. Résolution pour l'hypothèse

On a :

Que l'on peut écrire sous la forme :

ou

Les 3 étapes pour résoudre cette équation :

- déterminer A et B
- énoncer le principe de la méthode d'Euler
- appliquer la méthode d'Euler

- Détermination de A et B

Pour trouver B, on peut écrire que , mais on ne connaît pas k, alors on utilise une autre méthode :

Quand la vitesse atteint sa valeur limite, on vlim = cste alors = 0

soit

Graphiquement, on peut déterminer la valeur de la vitesse limite vlim = 2,45 m.s^-1

- Enoncé du principe de la méthode d'Euler :

L'accélération varie en fonction de la vitesse :

la vitesse varie en fonction de l'accélération :

Dt est appelé pas du calcul ou pas de résolution.

- Application de la méthode d'Euler :

Choix du pas de calcul :

Le pas de calcul est choisi tel que

Tableau de calculs itératifs :

Le remplissage des cases s'effectuent en suivant les flèches

Question discussion réponse :

Compléter le tableau :

Réponse :

Etc....

Ces calculs sont évidemment beaucoup rapides à réaliser sur un tableur.

Utilisation d'un tableur (le mode d'emploi du tableur est vu en TP)

Graphe obtenu :

3.2. Résolution pour l'hypothèse

L'équation différentielle s'écrit :

Que l'on peut écrire sous la forme :

ou

- Détermination de A et C

Quand la vitesse atteint sa valeur limite, on vlim = cste alors = 0

soit

Graphiquement, on peut déterminer la valeur de la vitesse limite vlim = 2,45 m.s^-1

- Enoncé du principe de la méthode d'Euler :

L'accélération varie en fonction de la vitesse :

la vitesse varie en fonction de l'accélération :

Dt est appelé pas du calcul.

- Application de la méthode d'Euler :

Pas de calcul Dt = 0,02 s

Question discussion réponse :

Compléter le tableau suivant :

Réponse :

Etc....

Ces calculs sont évidemment beaucoup rapides à réaliser sur un tableur.

Utilisation d'un tableur (le mode d'emploi du tableur est vu en TP)

Graphe obtenu :

3.3. De quel modèle, l'expérience réalisée en classe se rapproche-telle le plus ?

Voici représenté sur une même feuille les 3 graphes obtenus :

Question discussion réponse :

Quels conclusions pouvez-vous tirer de ces résultats ?

Réponse :

- au début la courbe représentant la chute de l'expérience se rapproche de la courbe " kv "
- au milieu, aucun modèle ne correspond au résultat expérimental
- à la fin la courbe représentant la chute de l'expérience se rapproche de la courbe " kv² "
- conclusion : l'expérience réalisée n'est pas vraiment modélisable avec les modèles proposés.

III. Chute verticale libre.

1. Définition d'une chute libre.

Un solide est en chute libre si la seule force qui s'exerce sur lui est la force de pesanteur (poids).

2. Nature du mouvement.

Le mouvement est uniformément accéléré.

3. Equation différentielle du mouvement.

- Système : une bille de masse m
- Référentiel : terrestre supposé galiléen
- Bilan des forces : poids
- Application de la deuxième loi de Newton

Le vecteur accélération est indépendant de la masse du solide.

4. Résolution analytique de l'équation différentielle.

On veut déterminer l'expression de vz (t) et de z(t)

On a

- Par projection sur l'axe (zz') : az = g

- Conditions initiales :

à t = 0 vz0 = 0 et z0 = 0

- Expression de vz (t)

vz (t)est une fonction primitive de g, alors :

vz (t)= gt + constante

vz (t) = gt + vz0

à t = 0 vz0 = 0, alors :

vz (t) = gt (équation horaire du mouvement)

Le mouvement est uniformément accéléré.

- Expression de z(t)

z(t) est une fonction primitive de vz (t), alors :

à t = 0 z0 = 0, alors :

(équation horaire du mouvement)

Cette expression permet de déterminer la position du solide à chaque instant.