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I. Les lois de Képler.

1. Approche historique.

D'après un travail d'Eric Butz (IREM de la réunion) www.reunion.iufm.fr

L'astronome Tycho Brahé (1546 - 1601) fait de nombreuses observations très précises sur les trajectoires des planètes.
Képler (1571 - 1630) utilise les résultats de ces observations pour vérifier la théorie de Copernic suivant laquelle les planètes tournent autour du Soleil d'un mouvement circulaire, uniforme, centré au Soleil.
En particulier, une petite différence de 8 minutes d'angles (1 minute d'angle = 1/60ème de degré) entre les observations de Mars par Tycho Brahé et la position calculée de cette planète sur le cercle théorique lui font rejeter le modèle circulaire de Copernic et trouver les deux premières lois :

Première loi de Képler, réécrite par Laplace en 1796 :

" Les orbes des planètes sont des ellipses dont le centre du Soleil occupe l'un des foyers "

Question discussion réponse

Faites un schéma décrivant cette première loi.

Réponse :

Remarque : l'ellipse dessinée est très exagérée pour plus de clarté.

Deuxième loi de Képler, réécrite par Laplace en 1796 :

" Les aires décrites autour de ce centre, par les rayons vecteurs des planètes sont proportionnelles aux temps employés à les décrire "

Question discussion réponse :

Parmi ces trois schémas, quel est celui qui correspond à l'énoncé de la deuxième loi de Képler ?

n°1	n°2	n°3

Réponse :

Le schéma n°2 correspond à l'énoncé de la deuxième loi de Képler

Troisième loi de Képler :

Après un grand nombre de tentatives continuées pendant 17 ans, Kepler réussit à établir une troisième loi reliant la période de révolution T au demi-grand axe a de l'orbite d'une planète autour du Soleil.

Question discussion réponse :

A partir des données du tableau suivant sur lequel Kepler aurait pu travailler, on cherche une relation entre la distance moyenne a d'une planète autour du Soleil et la durée moyenne T de leurs révolutions.

- Tracer sur un tableur le graphe T = f(a) et afficher l'équation de la courbe de tendance.
- Choisir alors la relation appropriée parmi les suivantes :

Réponse :

- Graphe T = f (a)

L'équation de la courbe est y = 0,9992 x^1,4975 , soit environ y = 1 x^1,5

On peut écrire que T = a^3/2

Si on élève cette équation au carré, on obtient T² = a³ , soit = 1
- La relation appropriée est donc = constante

On peut vérifier que ce modèle est valide dans un autre cas comme celui des satellites de Jupiter.

Question discussion réponse

Compléter la dernière colonne du tableau
Concluez

Réponse :

Pour les satellites de Jupiter, le rapport est constant et égal à environ 3,12 x 10^-16
Pour les satellites d'une autre planète, le rapport est également constant mais sa valeur sera différente.
La valeur du rapport est caractéristique de l'astre central autour duquel tourne les planètes ou satellites.

2. Enoncés des lois de Képler.

Première loi : Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d'une planète est une ellipse dont le centre du Soleil est l'un des foyers.

Deuxième loi : Le rayon qui relie le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant les durées égales.

Troisième loi : = constante T : période de révolution a : demi-grand axe

II. Etude d'un mouvement circulaire uniforme.

On constate que l'accélération est radiale comme la force qui lui est colinéaire.
Il possède une vitesse initiale non nulle.

La valeur de la vitesse est constante

s : abscisse curviligne

L'accélération a deux composantes :

- une accélération normale à la trajectoire
- une accélération tangentielle pour un mouvement circulaire uniforme = 0

III. Enoncé de la loi de gravitation universelle pour des corps dont la répartition des masses est à symétrie sphérique et la distance grande devant leur taille.

Universelle : qui s'applique à tous les corps (planètes, comètes, protons…)
Symétrie sphérique : assimilable à un point.

La distance entre les deux centres est notée r.

Pour l'étude de la force attractive du Soleil sur la Terre , on note le vecteur unitaire

Les vecteurs et sont opposés.
La force d'interaction gravitationnelle qui s'exercent entre deux objets ponctuels a pour expression vectorielle :

G est la constante de gravitation universelle. G = 6,67 x 10^-11 N.m².kg^-2
mS : masse du Soleil
mT : masse de la Terre
r : distance entre les centres du Soleil et de le Terre.

De plus :

L'intensité de la force a pour expression :

IV. Application de la deuxième loi de Newton.

L'application de la deuxième loi de Newton permet :

- d'établir l'expression de l'accélération.
- de définir les conditions pour que le mouvement soit circulaire uniforme.
- de déterminer la vitesse et la période de révolution d'un corps en mouvement circulaire uniforme.
- de retrouver la troisième loi de Képler.

1. Etablissement de l'expression de l'accélération.

On étudie l'interaction gravitationnelle du Soleil sur la Terre (celle de la Lune étant négligée).

Système : Terre
Référentiel : Géocentrique
Bilan des forces : force de gravitation universelle du Soleil sur la Terre

Application de la deuxième loi de Newton :

La masse dans l'expression de l'accélération est celle du corps attracteur (ici le Soleil).

Question discussion réponse :

Répondre par VRAI ou FAUX en justifiant votre réponse

- la valeur de la force exercée par le Soleil sur la Terre est supérieure à celle exercée par la Terre sur le Soleil.
- la valeur de l'accélération que subit la Terre dépend de sa masse.

Réponse :

- FAUX car selon le principe des actions réciproques FS/T = FT/S
- FAUX la valeur de l'accélération dépend de la masse du corps attracteur.

2. Quelles sont les conditions pour que le mouvement soit circulaire uniforme ?

On étudie le mouvement d'un palet auto-porteur sur une table à coussin d'air.
Le palet est accroché à un fil accroché à un bord de la table.
Le palet est mis en mouvement avec une vitesse initiale horizontale.

Il décrit un mouvement circulaire uniforme.

Système : un palet auto-porteur de masse m
Référentiel : terrestre supposé galiléen
Bilan des forces : poids, réaction du plan et la force exercée par le fil.
Application de la deuxième loi de Newton :

Le centre d'inertie est soumis à des forces dont la résultante est une force radiale et centripète,
dont l'expression est : vecteur unitaire opposé à

L'intensité de cette force est F = constante

Les conditions pour qu'un solide soit en mouvement circulaire uniforme sont :

- accélération radiale
- force centripète
- force d'intensité constante
- vitesse initiale non nulle

3. Détermination de la vitesse et la période de révolution d'un corps en mouvement circulaire uniforme.

On étudie le mouvement de la vitesse d'un satellite artificiel de masse mS autour de la Terre de masse mT à une distance r = RT + h (h : altitude)

Système : satellite
Référentiel : géocentrique supposé galiléen
Bilan des forces : force de gravitation universelle
Application de la deuxième loi de Newton :

Alors

La vitesse est indépendante de la masse du satellite.

La période T de révolution du satellite autour de la Terre est la durée minimale pour que le satellite effectue un tour complet de la Terre.

Avec RT = 6380 km.

Il ne faut pas confondre :

- période de révolution qui la durée nécessaire pour un solide tourne autour d'un corps central
(exemple : la Terre tourne autour du Soleil en 365,25 jours)
- période propre de rotation qui est la durée nécessaire pour que le solide effectue une rotation sur lui-même (exemple : la période rotation propre de la Terre est de 23 h 56 s)

4. Retrouver la troisième loi de Kepler.

On a établi que
Si on élève au carré cette expression, on obtient :

V. Les satellites géostationnaires.

1. Définition d'un satellite géostationnaire.

Un satellite géostationnaire a une position fixe par rapport à la Terre.

2. Conditions pour qu'un satellite soit géostationnaire :

- La trajectoire est un cercle contenu dans la plan équatorial.
- Son sens de révolution est celui de la rotation de la terre.
- Sa période est égal à un jour sidéral : 23 h 56 min = 86160 s.
- Son altitude (distance du satellite par rapport au sol) est égal à …………….

Question discussion réponse

En utilisant la relation , déterminer à quelle altitude le satellite doit se trouver afin qu'il soit géostationnaire.

Avec :

RT = 6380 km
G = 6,67 x 10^-11 S.I.
mT = 5,98 x 10²⁴ kg
T = 86160 s

Réponse :

VI. Notion d'impesanteur dans le cas d'un satellite en mouvement circulaire uniforme.

1. Définition.

On dit qu'un corps est en état d'impesanteur, lorsqu'il n'est soumis qu'à la seule force de gravitation.
Il ne s'agit donc pas d'une absence de gravitation.

2. Exemples de situations d'impesanteur.

Question discussion réponse

Quel est le point commun entre un astronaute en orbite autour de la Terre à bord de la navette spatiale et une personne dans une tour de chute libre d'un parc d'attraction ?

Source : NASA	Source : parkfunworld

Dans les deux cas, ils sont en chute libre. Ils se retrouvent en état d'impesanteur.