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I. Les oscillateurs vus en terminale S.

Les oscillateurs étudiés en terminale S sont :

- le pendule pesant (simple)
- le pendule élastique (voir le cours suivant)

• horizontal
• vertical (expérimentalement)

II. Le pendule simple.

1. Définitions.

Le pendule simple est un cas particulier de pendule pesant.

1.1. Définition d'un pendule pesant :

Le pendule pesant est un système en rotation autour d'un axe horizontal.
Ecarté de sa position d'équilibre, il oscille sous la seule action de son poids.

Question discussion réponse

Combien il y a-t-il de position d'équilibre pour ce pendule ? Quelle est sa position d'équilibre stable ? Pourquoi ?

Réponse :

Il y a deux positions d'équilibre.

Position d'équilibre instable car si on écarte la sphère de sa position initiale elle ne la retrouvera jamais.
	Position d'équilibre stable car si on écarte la sphère de sa position initiale elle retrouvera cette position au bout de quelques oscillations

1.2. Définition du pendule simple :

Le pendule simple est un pendule pesant dont la masse m accrochée est de petite taille par rapport à la longueur du pendule. (20 x plus petite environ).
Le fil inextensible ou la tige rigide est de masse négligeable devant m.

1.3. Définitions de l'écart à l'équilibre, de l'abscisse angulaire et l'amplitude.

On décrit le mouvement en mesurant une grandeur appelée écart à l'équilibre stable.

Cet écart est une grandeur angulaire notée q (t).

2. Comment retrouver expérimentalement l'expression de la période propre d'un pendule simple et vérifier l'isochronisme des petites oscillations ?

Cette partie est vue en TP.

Isochronisme des petites oscillations : pour des valeurs d'amplitude angulaire relativement faible (qm < 20°), la période des oscillations est indépendante de qm.

Oscillation : variation alternative au cours du temps d'une grandeur autour de sa valeur à l'équilibre.

Remarques sur la mesure de T

Question discussion réponse :

Répondre par VRAI ou FAUX en justifiant votre réponse.

- la mesure de T s'effectue en déclenchant le chronomètre au moment où on lâche la bille.
- la mesure de T s'effectue sur une oscillation (un aller et retour).

Réponse :

FAUX, la mesure de T s'effectue après une ou plusieurs oscillations afin s'affranchir des perturbations dues au lâcher de la bille.

FAUX, le mesure de T s'effectue sur plusieurs oscillations afin d'avoir une plus grande précision de mesure.

Question discussion réponse :

- Proposer une expérience permettant de vérifier l'isochronisme des petites oscillations. Pour cela :

- Décrire le protocole expérimental.
- Indiquer les valeurs de :

- la masse m du solide accroché au fil
- la longueur du pendule (fil + rayon de la bille) L
- l'amplitude choisie qm

- Réaliser cette expérience.
- Noter les résultats expérimentaux dans un tableau.
- Tracer le graphe correspondant sur un tableur.
- Conclure.

Réponse :

- Protocole expérimental :

On choisit une valeur de m et une valeur de L que l'on gardera constante dans toute l'expérience.
On effectue une mesure de T pour différentes valeurs de qm 20°.

- Valeurs choisies :

m = 100,0 g
L = 1,20 m
qm : 5 °, 10°, 15° et 20°

- On réalise l'expérience et on trouve les résultats suivants :

- Graphe T = f (qm)

Conclusion : La période est indépendante de l'amplitude angulaire. La loi d'isochronisme des petites oscillations est vérifiée.

Question discussion réponse :

- Proposer une expérience afin de montrer si la période dépend de la masse m du solide accroché au fil.

- Décrire le protocole expérimental.
- Indiquer les valeurs de :

- la longueur du pendule (fil + rayon de la bille) L
- l'amplitude choisie qm
- les masses m des solides

- Réaliser cette expérience.
- Noter les résultats expérimentaux dans un tableau.
- Tracer le graphe correspondant sur un tableur.
- Conclure.

Réponse :

- Protocole expérimental :

On choisit une valeur de qm et une valeur de L que l'on gardera constante dans toute l'expérience.
On effectue une mesure de T pour différentes valeurs de m.

- Valeurs choisies :

L = 1,20 m
qm = 20°
m = 50,0 g ; 100,0 g ; 150,0 g ; 200,0 g

- On réalise l'expérience et on trouve les résultats suivants :

- Graphe T = f (m)

Conclusion : la période du pendule simple est indépendante de la masse du solide accroché.

Question discussion réponse :

- Proposer une expérience afin de montrer si la période dépend de la longueur L du pendule.

- Décrire le protocole expérimental.
- Indiquer les valeurs de :

- la masse m du solide.
- l'amplitude choisie qm
- les longueurs L du pendule

- Réaliser cette expérience.
- Noter les résultats expérimentaux dans un tableau.
- Tracer le graphe correspondant sur un tableur.
- A quelle fonction mathématique, la courbe obtenue vous fait-elle penser ?
- Réaliser un nouveau graphe afin d'obtenir une relation de proportionnalité.
- Conclure.

Réponse :

- Protocole expérimental :

On choisit une valeur de qm et une valeur de m que l'on gardera constante dans toute l'expérience.
On effectue une mesure de T pour différentes valeurs de L.

- Valeurs choisies :

qm = 20°
m = 100,0 g

- On réalise l'expérience et on trouve les résultats suivants :

- Graphe T = f (L)

Cette courbe ressemble à la fonction
Afin d'obtenir une relation de proportionnalité, on peut tracer le graphe T²= f (L)

Conclusion : L'expression de la période dépend de

Question discussion réponse :

La période du pendule dépend sans doute d'une autre grandeur, mais laquelle ?

L'analyse dimensionnelle permet de définir la nature de cette grandeur.

On note [T] la dimension de la période et [L] la dimension de la longueur du pendule.

A partir des résultats précédents, on peut écrire :

[T] = [L]^1/2. [X]^a

[X] étant la dimension de la grandeur à déterminer.

- Résoudre cette équation aux dimensions en déterminant la dimension de [X] en fonction [T] et [L].
- En déduire la nature de cette grandeur.
- En déduire la nouvelle expression de la période.

Réponses :

Cette grandeur est équivalente à l'inverse d'une accélération. [a] = [L].[T]^-2
La seule accélération que subit le pendule est l'accélération de la pesanteur.
L'expression de la période peut maintenant s'écrire :

Question discussion réponse :

Nous allons vérifier si la nouvelle expression de la période est validée par les résultats expérimentaux.

- Calculer la valeur de T pour L = 1,00 m et g = 10 m.s^-2
- Si le résultat ne correspond pas aux résultats expérimentaux, trouver la valeur de k tel que afin d'obtenir une égalité entre les deux résultats.

- En déduire l'expression définitive de la période en fonction de L, g et p

Réponse :

La valeur expérimentale est 2,00 s

On remarque que k = 2p

Alors l'expression définitive la période est :

3. Amortissement des oscillations.

On étudie le cas d'amortissements faibles des oscillations du pendule.

Ces amortissements sont dues aux forces de frottements fluide (air) et solide (friction sur l'axe).

Question discussion réponse

La pseudo-période T des oscillations faiblement amorties est-elle égale à la période propre T0 ?

On fait osciller un pendule simple de longueur L = 25,0 cm.
On prendra g = 10 m.s^-2

On obtient l'enregistrement suivant de son amplitude angulaire. Comparer T et T0

Réponse :

Sur le graphique, on peut lire la pseudo-période.
On prend 3 oscillations.
On mesure 3T = 3,0 s

Alors la pseudo-période est égale à T = 1,0 s

Par le calcul, on détermine la valeur de la période propre.

Conclusion : T0 T pour des amortissements faibles la pseudo-période T est voisine la période propre T0.

Si les amortissements étaient beaucoup plus élevés, on obtiendrait un régime apériodique.

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I. Force de rappel exercée par un ressort.

Les ressorts étudiés sont des ressorts à spires non jointives, c'est à dire qu'ils peuvent être comprimés ou étirés.

On note la force de rappel exercée par un ressort.

Les caractéristiques de la force de rappel d'un ressort sont :

- direction : celle du ressort
- sens : vers la position d'équilibre
- intensité : F = k | l - l0 | = k| x |

k est la raideur du ressort (N.m^-1)
l0 est la longueur du ressort au repos
x est l'allongement

Afin d'établir l'expression vectorielle de la force de rappel d'un ressort, nous allons étuidiés les deux cas de figures suivants :

Compression :

- x < 0
- dans le sens de

Alors car -kx > 0 ( est bien dans le sens de )

Allongement :

- x > 0
- dans le sens opposé à

Alors car -kx < 0 ( est bien dans le sens opposé à )

II. Etude dynamique du système " solide ".

1. Oscillation d'un solide soumis à l'action de deux ressorts horizontaux.

2. Etablissement de l'équation différentielle du mouvement.

- Système : le solide accroché au ressort.
- Référentiel : terrestre supposé galiléen
- Bilan des forces :
§ le poids
§ la réaction normale au plan
§ la force de rappel du ressort
§ la force de frottement
m étant le coefficient de frottement fluide

- Application de la deuxième loi de Newton :

- Par projection sur l'axe

Cette équation différentielle décrit le mouvement oscillant suivant l'axe du pendule élastique.

Si les frottements sont négligeables :

- Vérifions que est une solution de l'équation différentielle
Mais tout d'abord donnons la signification de tous les termes de cette solution :

t étant le temps (s)
Dans un premier temps, calculons et

donc

L'équation différentielle est bien vérifiée.

3. Période des oscillations.

On note T0 la période propre des oscillations

L'expression de la solution de l'équation différentielle peut s'écrire sous deux formes :

Par comparaison, on a :

Alors

4. Vérification de l'homogénéité de l'expression de la période propre par analyse dimensionnelle.

Sachant que :
- l'expression de la force de rappel d'un ressort est F = k | l - l0 | = k| x |
- la deuxième loi de Newton s'écrit dans ce cas F = maG

On obtient :

Donc

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I. Exemples spectaculaires de résonances mécaniques.

1. Destruction du pont de Tacoma.

Regarder la vidéo suivante :

1,2 Mo

Source : itnsource.com (Pathe Gazettes / Pathe Newsreels)

Le 7 novembre 1940, des voitures traversent le pont de Tacoma.
Des rafales de vent violentes et périodiques frappent le pont.
Le pont commence à osciller et se rompt !

Mais pourquoi ? Nous allons répondre à cette question dans la suite du cours.

2. Le pont suspendu de Basse-Chaîne à Angers.

Le 16 avril 1850, Le 3ème bataillon du 2ème léger se rend à Angers pour une revue.
Une tempête balaye Angers, les soldats têtes baissées marchent sur le pont.
Brutalement, quand une partie du bataillon atteint la rive gauche, le pont se rompt ! 226 morts !

Mais pourquoi ? Nous allons répondre à cette question dans la suite du cours.

II. Présentation expérimentale du phénomène de résonance.

Cette partie peut être vue en TP.

Le dispositif est constitué de deux pendules reliés entre-eux par un ressort.

On met en mouvement le pendule appelé excitateur.

Le pendule appelé résonateur se met en mouvement.
Les oscillations sont dites " forcées "

Vous pouvez observer ces oscillations dans la vidéo suivante :

11 Mo

Questions discussion réponse

II.1. Détermination de la période propre du résonateur. (Etude d'un document).

Le document suivant a été réalisé en pointant sur une vidéo des oscillations du résonateur, la position du centre du disque fixé à la tige.

Les conditions du pointage sont décrites sur le schéma suivant :

Remarque (hors programme) : le mouvement irrégulier obtenu (augmentation puis diminution de l'amplitude des oscillations et ainsi de suite) est dû au fait que le résonateur reçoit des impulsions qui ne sont plus synchrones avec sa période propre. Tantôt, il est en concordance, tantôt il est en discordance avec son propre mouvement oscillatoire. Ces alternances de mouvement maximum et de repos constituent un cas particulier du phénomène des battements (superposition de deux phénomènes vibratoires de type interférence). Ce n'est pas le phénomène de résonance.

Déterminer la période propre du résonateur ; Indiquez votre méthode. T0 = ………… s

Réponse :

Afin de déterminer la période propre du résonateur, on mesure la durée nécessaire afin d'effecteur 10 oscillations.


L'origine des axes étant situé à la position d'équilibre du pendule, une oscillation
(un aller et retour) correspond sur le graphique à la durée pour passer d'un maximum
au 2ème maximum.

On trouve 10 T0 = 11,5 s

Valeur de la période propre du résonateur T0 = 1,15 s

II.2. Comment faire varier la période de l'excitateur ?

1. En utilisant le dispositif proposé, donner une méthode afin de faire varier la période de l'excitateur.

2. On détermine expérimentalement les valeurs extrêmes des périodes de l'excitateur.

……………. < T < ………………

Réponse :

Le dispositif permet de faire varier le centre d'inertie de la tige de l'excitateur en déplaçant le contre-poids du pendule excitateur.
(En simplifiant , on peut assimiler ce déplacement à la variation de longueur d'un pendule simple)

1,12 s < T < 1,20 s

II.3. Evolution de l'amplitude du résonateur en fonction de la période de l'excitateur.

1. On réalise les mesures d'amplitude et on complète le tableau suivant :

d : distance entre l'axe et le haut du contre-poids.

Résultats :

2. On trace le graphe Amplitude = f (d)

On a montré que la période T dépendait de la distance d.

- L'amplitude du résonateur dépend-elle de la période de l'excitateur T ?
- Pour quelle valeur de d a-t-on l'amplitude la plus élevée ?

Réponse :

- L'amplitude du résonateur dépend de la période de l'excitateur.
- Pour d = 27,0 cm on obtient la valeur maximale de l'amplitude de résonance.

3. Détermination expérimentale de la période de l'excitateur quand l'amplitude est maximale.

- On effectue la mesure de 10 périodes quand l'amplitude est maximale. 10 T = ………..

- On détermine la période T correspondante. T = …………

Réponse :

10 T = 11,5 s et T = 1,15 s

4. Bilan des différentes expériences.

- Comparer la valeur de la période du résonateur (déterminée dans la partie I) avec celle de l'excitateur qui permet d'obtenir l'amplitude maximale.
- Conclusion ?

Réponse :

- La valeur du résonateur est égale à 1,15 s
- La valeur de la période de l'excitateur permettant d'obtenir une amplitude maximale est 1,15 s.
- Conclusion : Quand la période T de l'excitateur est voisine de la période propre du résonateur, on a un phénomène de résonance.

III. Influence de l'amortissement.

T0 est la période propre du résonateur.
On utilise le dispositif soumis à trois situations différentes :

o pas de frottements
o quelques frottements
o beaucoup de frottements

On fait varier la fréquence de l'excitateur comme dans l'expérience précédente.

Question discussion réponse

L'existence de frottements modifie-t-elle :

o l'amplitude maximale à la résonance ?
o la fréquence (ou la période) de résonance ?

Réponse :

o l'amplitude maximale à la résonance diminue quand les frottements augmentent.
o La fréquence de résonance est indépendante de l'existence de frottements.

IV. Pourquoi les ponts de Tacoma et d'Angers sont-ils rentré en résonance ? (Bilan)

Question discussion réponse

A partir des éléments de cours précédents, proposer une explication aux phénomènes observés sur ces deux ponts.

Les rafales de vent ont une période T ou fréquence f. Elles constituent l'excitateur.
Les ponts dont la structure est oscillante ont une période propre T0 ou fréquence propre f0. Ils constituent le résonateur.
Quand la fréquence des rafales a atteint la valeur de la fréquence propre des ponts, ils sont entré en résonance.

On peut observer ces phénomènes de résonance dans d'autres dispositifs, comme les instruments de musique à vents ( trompette, orgues) ou les instruments à cordes avec une caisse de résonance (guitare).