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I. Comment décrire le mouvement d'un solide ?

Afin de décrire le mouvement d'un solide, il faut :

- choisir un système.
- choisir un repère d'espace et de temps (référentiel).
- effectuer le bilan des forces extérieures qui s'exercent sur ce solide.
- définir le vecteur de position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération.
- déterminer sa trajectoire.

1. Choisir un système.

Un système peut être un objet ou un ensemble d'objets sur lequel les forces extérieures s'appliquent.

Question discussion réponse :

Voici quelques débuts d'énoncés de sujets de baccalauréat.
Indiquez dans chaque cas quel est le système étudié :

Enoncé n° 1 : Antilles Juin 2005

Le but du jeu est d'envoyer une bille d'acier dans un trou. Pour lancer la bille, le joueur comprime un ressort, à spires non jointives, qui va la propulser lors de la détente. La boule roule ensuite sur un plan horizontal suivant la droite (AC), quitte ce plan pour chuter dans un des trous du sol. Le schéma du dispositif est représenté ci-dessous : (schéma non à l'échelle).

Enoncé n° 2 : National Juin 2004

L'objectif de cette partie est d'étudier la mécanique du vol d'un ballon sonde à faible altitude (sur les premières centaines de mètres). On peut alors considérer que l'accélération de la pesanteur g, le volume du ballon Vb et la masse volumique r de l'air restent constantes.
On modélisera la valeur f de la force de frottement de l'air sur le système étudié par l'expression:
f = K.r.v² où K est une constante pour les altitudes considérées et v la vitesse du centre d'inertie du système {ballon + nacelle} .

Réponses :

Enoncé n° 1 : le système est la boule (bille d'acier)

Enoncé n° 2 : le système est le ballon + nacelle

2. Choisir un repère d'espace et de temps.

Un référentiel est un repère d'espace et de temps.

Exemples de référentiels :

Référentiel	Description	Exemples de domaines d'étude
Héliocentrique	Soleil Les 3 axes sont dirigés vers 3 étoiles lointaines supposées fixes	Etude du mouvement des planètes Etude du mouvement des comètes
Géocentrique	Terre Les 3 axes sont dirigés vers 3 étoiles lointaines supposées fixes	Etude du mouvement des satellites artificiels autour de la Terre Etude du mouvement de la Lune
Terrestre	Laboratoire	Etude du mouvement d'un solide sur terre

L'ensemble de ces référentiels sont supposés galiléens.

Un référentiel est dit galiléen si le principe d'inertie est applicable dans celui-ci.

Question discussion réponse :

- Observer les films suivants
- Indiquer dans chaque cas quel est le référentiel approprié pour l'étude du mouvement de la fusée.
- Justifier votre choix

Les films sont également téléchargeables sur le site :

http://www.educnet.education.fr/orbito/pedago/inertie/inert1.htm

Vidéo n° 1 650 Ko	Vidéo n° 2 4,3 Mo

Réponse :

- Vidéo n° 1 : Référentiel terrestre.
- Vidéo n° 2 : Référentiel géocentrique.
- Justification : Le corps qui est immobile sert de corps de référence pour décrire le mouvement ; il joue le rôle d'un référentiel.

3. Faire l'inventaire des forces appliquées à un système.

Dans le cadre du programme de terminale S, différentes forces seront étudiées :

o le poids
o la poussée d'Archimède
o les forces de frottement
o la réaction au plan
o la tension d'un fil ou d'un ressort

Rappel :

Une force est caractérisée par :

o sa direction
o son sens
o son point d'application
o son intensité (norme)

Question discussion réponse :

Donner les caractéristiques du poids et de la poussée d'Archimède.

Réponse :

Poids

- direction : verticale
- sens : vers le bas
- point d'application : le centre d'inertie du solide
- intensité : P = mg

Poussée d'Archimède

- direction : verticale
- sens : du bas vers le haut
- point d'application : centre d'inertie du fluide déplacé
- intensité : p = rVg

Nous utiliserons également dans la suite du cours, les expressions vectorielles de ces forces.

Exemple : et

4. Définir le vecteur accélération.

Dans un repère orthonormé d'origine O, on définit :

- Le vecteur de position M est la position du mobile à la date t
- Le vecteur vitesse Dt est la durée
- Le vecteur accélération

5. Déterminer la trajectoire.

Exemples de trajectoires vues en terminale S :

Rectiligne

Curviligne

II. Les lois de Newton.

1. Première loi de Newton : principe d'inertie.

Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces extérieures appliquées au centre d'inertie d'un solide est nulle, alors son mouvement est rectiligne uniforme et réciproquement.

Solide : corps indéformable
Centre d'inertie : point du solide dont le mouvement est le plus simple

2. Troisième loi de Newton : principe des actions réciproques.

A et B étant deux corps en interaction

La force exercée par A sur B notée et la force exercée par B sur A notée ont même direction, même intensité mais des sens opposés.

= -

3. Deuxième loi de Newton.

Cette partie peut être également vue en TP

3.1. Mise en évidence expérimentale du lien entre et .

Ce cours est vidéoprojeté aux élèves sous la forme d'une présentation powerpoint

Lors de cette présentation on étudie comment :

- tracer des vecteurs vitesse
- tracer un vecteur accélération
- mettre en évidence expérimentale le lien entre et .
- Montrer que

- Présentation powerpoint interactive (question-réponse), Cliquer sur (pour l'enregistrer : click droit puis enregistrer la cible sous)
- Présentation au format html non interactive, cliquer sur
- Présentation au format PDF non interactive, cliquer sur
- Présentation au format word non interactive, cliquer sur

3.2. Rôle de la masse.

On répète l'expérience précédente avec des masses différentes (masse du palet autoporteur + surcharges)

On mesure la valeur de DvG pour différentes masses en utilisant le même ressort dans chaque cas (force de tension du ressort constante)

Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :

Question discussion réponse :

- compléter la dernière ligne du tableau.
- Conclusion : la valeur de pendant une durée donnée est ………………… à ……………………de la masse m du solide

Réponse :

Conclusion : la valeur de pendant une durée donnée est proportionnel à l'inverse de la masse m du solide.

3.3. Enoncé de la deuxième loi de Newton.

Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de sa masse par l'accélération de son centre d'inertie.

F s'exprime en Newton (N)
m s'exprime en kilogramme (kg)
aG s'exprime en m.s^-2

III. Comment reconnaître si un mouvement est uniforme, uniformément accéléré ou uniformément ralenti ?

La méthode consiste à étudier le signe du produit scalaire des deux vecteurs et
Rappel : = a x v x cos ( ; )

Si > 0 le mouvement est uniformément accéléré
Si < 0 le mouvement est uniformément ralenti
Si = 0 le mouvement est uniforme

Question discussion réponse :

- Indiquer dans chaque cas la nature du mouvement
- Représenter dans chaque la résultante des forces extérieures qui s'appliquent sur le solide ponctuel.
(la grandeur du vecteur est qualitative)

- Proposer des exemples de situations dans la vie courante où l'on retrouve chacun de ces cas.

cas n° 1	cas n° 2	cas n° 3	cas n° 4

Réponse :

cas n° 1	cas n° 2	cas n° 3	cas n° 4
> 0	= 0	< 0	= 0
mouvement uniformément accéléré	mouvement  uniforme	mouvement uniformément ralenti	mouvement  uniforme
un petit train tiré par une ficelle sur des rails	un patineur sur  la glace	action d'un vent contraire latéral sur une voile	Terre autour du Soleil

Une autre méthode consiste à analyser les courbes vG =f(t)

Mouvement unifome	Mouvement uniformément ralenti	Mouvement uniformément accéléré

Question discussion réponse :

A quel type de mouvement, le graphe suivant correspond-il ?

Réponse :

Il s'agit d'un graphe aG = f(t)
L'accélération est constante et positive, il s'agit alors d'un mouvement uniformément accéléré.

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I. Force de pesanteur ; Notion de champ de pesanteur.

1. Discussion autour d'un document vidéo : Le marteau et la plume (The Hammer and the Feather)

Le document vidéo est téléchargeable sur le site de la Nasa :
http://www.hq.nasa.gov/office/pao/History/alsj/a15/video15.html

Source :NASA Pour enregistrer, click droit puis enregistrer sous

6,25 Mo

Lors de l'expédition lunaire Apollo 15 de 1971, deux astronautes David Scott et James Irwin séjournèrent sur la Lune près des monts Hadley durant 64 heures.

Ils proposèrent de faire l'expérience suivante en l'hommage de Galilée :

David Scott tient dans sa main droite un marteau et dans sa main gauche une plume.
Il lâche les deux objets en même temps et observe leurs chutes.

Regarder attentivement la vidéo.

Question discussion réponse :

- Qu'observe-t-on ?
- Sur la Lune, le poids de la plume est-elle égale au poids du marteau ?
- Sur la Terre, le poids de la plume est-elle égale au poids du marteau ?
- Si on lâche un marteau (ou un autre objet aussi lourd) dans la classe, tombe-t-il aussi vite que sur la Lune ? Faites l'expérience de la même manière que David Scott et concluez.
- La masse du marteau sur la Lune est-elle égale à la masse sur la Terre ?
- La vitesse de chute dépend-elle alors de la masse ?
- De quoi alors dépend la vitesse de chute ?

Réponse :

- On observe que le marteau et la plume tombe à la même vitesse et arrive en même temps au sol.
- Sur la Lune le poids de la plume est différent du poids du marteau.
- Sur la terre le poids de la plume est différent du poids du marteau.
- Expérience : si on lâche sur Terre le marteau dans les mêmes conditions que sur la Lune, on constate que le marteau tombe plus vite sur la Terre que sur la Lune.
- La masse, c'est à dire la quantité de matière, du marteau est la même sur la Terre que sur la Lune.
- La vitesse ne dépend donc pas de la masse.
- La vitesse de chute dépend d'une caractéristique propre à la Terre et la Lune : le champ de pesanteur. Ce champ de pesanteur dépend de l'objet attracteur (Lune ou Terre).

2. Force de pesanteur.

Un objet qui se trouve au voisinage de la Terre subit une force de gravitation qui peut être assimilé à la force de pesanteur qui est appelée poids de l'objet.

Caractéristique du poids :

- direction : verticale
- sens : vers le bas
- point d'application : le centre d'inertie du solide
- intensité : P = mg

3. Notion de champ de pesanteur uniforme.

La Terre, comme tout corps possédant une masse crée un champ de pesanteur.
Le champ de pesanteur est caractérisé par le vecteur
Le vecteur dépend de la masse du corps attracteur et du lieu.

- En effet, le champ de pesanteur lunaire est plus faible que le champ de pesanteur terrestre. Si on monte à l'altitude de 10 km, la valeur de diminue de 3%
- De même dans le cas de la terre qui n'est pas sphérique (la Terre est aplatie aux pôles), la valeur de est plus faible à l'équateur qu'aux pôles.

Le champ de pesanteur est uniforme si le vecteur champ de pesanteur est le même en tous points du domaine d'espace où agit le champ.

Question discussion réponse :

Dans les deux cas suivants, le champ de pesanteur à la surface des objets est-il uniforme ?

Réponse :

Dans aucun des deux cas, le champ de pesanteur n'est pas uniforme car les vecteurs n'ont pas la même direction.

En coupe

On considérera toutefois, que le champ de pesanteur terrestre sera uniforme à un endroit donné de la surface de la Terre car la courbe de la Terre dans un laboratoire par exemple est assimilable à une droite.

Les vecteurs champ de pesanteur ont dans ce cas, même direction, même sens et même intensité.

II. Chute verticale avec frottements.

1. Expérience : chute d'un ensemble de ballons dans l'air.

Pour enregistrer, click droit puis enregistrer sous

1,96 Mo

Un élève lâche un ensemble de 4 ballons lestés :

Volume total V = 2 x 2 + 2 x 0,6 = 5,2 L et la masse total m = 22,2 g

- On filme la chute des ballons à l'aide d'une webcam.

Réglages camera Philips ToUcam Pro :

- video format : 320 x 240
- video source : réglage entièrement automatique
- temps : 5 secondes
- vitesse d'obturation 1/250ème de seconde
- régler le gain afin que l'image soit claire.

Données :

Masse volumique de l'air m = 1,3 kg.m^-3
Intensité de la pesanteur g = 10 m.s^-2

Mise en évidence de l'évolution de la vitesse au cours du temps :

- On pointe la position d'un point du système (par exemple : le centre de l'un des ballons) avec le logiciel Avimeca2.
- On calcule la vitesse des ballons à l'aide du logiciel Regressi.
- On trace le graphe v = f(t) à l'aide du logiciel Excel.

Les modes d'emploi de ces différents logiciels sont donnés dans la partie TP.

On obtient le graphe suivant :

On constate que la vitesse atteint une vitesse limite vlim = 2,45 m.s^-1

On distingue deux régimes :

- au début, il y a une évolution de la vitesse, il s'agit du régime initial.
- A la fin, la vitesse devient constante, il s'agit du régime asymptotique (dit " permanent ")

On peut calculer le temps caractéristique t comme pour les circuits électriques, en traçant la tangente à l'origine et en déterminant l'abscisse du point d'intersection de cette tangente avec la droite d'équation v = vlim

Nous allons établir deux modèles à l'aide d'équations différentielles et discuter de la validité de ces modèles par rapport à la courbe expérimentale trouvée ci-dessus.

2. Equations différentielles du mouvement.

Deux équations différentielles peuvent être établies selon l'expression des forces de frottement
(cas d'une vitesse faible du mobile) ou (cas d'une vitesse élevée du mobile)

Etablissement de l'équation différentielle pour l'hypothèse :

- Système : ensemble des ballons lestés
- Référentiel : terrestre supposé galiléen
- Bilan des forces extérieures appliquées au système :

o Poids :
o Poussée d'Archimède :
o Force de frottement fluide :

- Application de le deuxième loi de Newton :

- Par projection sur l'axe z'z

Soit :

Expression de l'équation différentielle en fonction de v et de :

Etablissement de l'équation différentielle pour l'hypothèse :

Par le même raisonnement on obtient :

Expression de l'équation différentielle en fonction de v et de :

3. Résolution de l'équation différentielle par une méthode itérative (la méthode d'Euler).

Itérative : par répétition

Euler : Mathématicien et physicien du 18ème siècle a qui ont doit des travaux l'astronomie (orbites planétaires, trajectoires des comètes), les sciences physiques (champs magnétiques, hydrodynamique, optique, nature ondulatoire de la lumière,...), les mathématiques, où il met au premier plan le concept de fonction.

3.1. Résolution pour l'hypothèse

On a :

Que l'on peut écrire sous la forme :

ou

Les 3 étapes pour résoudre cette équation :

- déterminer A et B
- énoncer le principe de la méthode d'Euler
- appliquer la méthode d'Euler

- Détermination de A et B

Pour trouver B, on peut écrire que , mais on ne connaît pas k, alors on utilise une autre méthode :

Quand la vitesse atteint sa valeur limite, on vlim = cste alors = 0

soit

Graphiquement, on peut déterminer la valeur de la vitesse limite vlim = 2,45 m.s^-1

- Enoncé du principe de la méthode d'Euler :

L'accélération varie en fonction de la vitesse :

la vitesse varie en fonction de l'accélération :

Dt est appelé pas du calcul ou pas de résolution.

- Application de la méthode d'Euler :

Choix du pas de calcul :

Le pas de calcul est choisi tel que

Tableau de calculs itératifs :

Le remplissage des cases s'effectuent en suivant les flèches

Question discussion réponse :

Compléter le tableau :

Réponse :

Etc....

Ces calculs sont évidemment beaucoup rapides à réaliser sur un tableur.

Utilisation d'un tableur (le mode d'emploi du tableur est vu en TP)

Graphe obtenu :

3.2. Résolution pour l'hypothèse

L'équation différentielle s'écrit :

Que l'on peut écrire sous la forme :

ou

- Détermination de A et C

Quand la vitesse atteint sa valeur limite, on vlim = cste alors = 0

soit

Graphiquement, on peut déterminer la valeur de la vitesse limite vlim = 2,45 m.s^-1

- Enoncé du principe de la méthode d'Euler :

L'accélération varie en fonction de la vitesse :

la vitesse varie en fonction de l'accélération :

Dt est appelé pas du calcul.

- Application de la méthode d'Euler :

Pas de calcul Dt = 0,02 s

Question discussion réponse :

Compléter le tableau suivant :

Réponse :

Etc....

Ces calculs sont évidemment beaucoup rapides à réaliser sur un tableur.

Utilisation d'un tableur (le mode d'emploi du tableur est vu en TP)

Graphe obtenu :

3.3. De quel modèle, l'expérience réalisée en classe se rapproche-telle le plus ?

Voici représenté sur une même feuille les 3 graphes obtenus :

Question discussion réponse :

Quels conclusions pouvez-vous tirer de ces résultats ?

Réponse :

- au début la courbe représentant la chute de l'expérience se rapproche de la courbe " kv "
- au milieu, aucun modèle ne correspond au résultat expérimental
- à la fin la courbe représentant la chute de l'expérience se rapproche de la courbe " kv² "
- conclusion : l'expérience réalisée n'est pas vraiment modélisable avec les modèles proposés.

III. Chute verticale libre.

1. Définition d'une chute libre.

Un solide est en chute libre si la seule force qui s'exerce sur lui est la force de pesanteur (poids).

2. Nature du mouvement.

Le mouvement est uniformément accéléré.

3. Equation différentielle du mouvement.

- Système : une bille de masse m
- Référentiel : terrestre supposé galiléen
- Bilan des forces : poids
- Application de la deuxième loi de Newton

Le vecteur accélération est indépendant de la masse du solide.

4. Résolution analytique de l'équation différentielle.

On veut déterminer l'expression de vz (t) et de z(t)

On a

- Par projection sur l'axe (zz') : az = g

- Conditions initiales :

à t = 0 vz0 = 0 et z0 = 0

- Expression de vz (t)

vz (t)est une fonction primitive de g, alors :

vz (t)= gt + constante

vz (t) = gt + vz0

à t = 0 vz0 = 0, alors :

vz (t) = gt (équation horaire du mouvement)

Le mouvement est uniformément accéléré.

- Expression de z(t)

z(t) est une fonction primitive de vz (t), alors :

à t = 0 z0 = 0, alors :

(équation horaire du mouvement)

Cette expression permet de déterminer la position du solide à chaque instant. 

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I. Une hypothèse historique sur la nature de la trajectoire d'un boulet de canon.

Galilée (1564 - 1642) montra que l'hypothèse de tir décrit dans l'illustration ci-dessous était erronée.

Question discussion réponse :

- Décrivez la trajectoire du boulet de canon décrit dans cette illustration.
- Proposer des arguments pour montrer l'inexactitude de cette hypothèse sur la nature du mouvement du boulet de canon.

Rappel : un boulet de canon ne possède pas de propulsion propre comme un missile.

Réponse :

- Dans cette illustration, le boulet a une trajectoire rectiligne, puis soudainement au point p, il suit une trajectoire rectiligne verticale.

- Exemples d'arguments :

o Selon la première loi de Newton (principe d'inertie) si la trajectoire est rectiligne et uniforme l'ensemble des forces extérieures appliquées au boulet se compensent.
Si on néglige les frottements, la seule force qui s'exercent sur le boulet est la force de pesanteur (poids), donc la trajectoire ne peut pas être rectiligne.
o Pour que le boulet change de trajectoire au point p, il faut qu'il subisse une nouvelle force extérieure (par exemple : un mur).
Ce n'est pas le cas ici, le boulet devrait poursuivre sa trajectoire initiale qui n'est évidemment pas rectiligne !
o Le boulet ne peut pas suivre ensuite une trajectoire verticale, car au point p il possède une vitesse initiale dont le vecteur n'est pas dirigé vers le centre de la Terre.

II. Mouvements de projectiles dans un champ de pesanteur uniforme.

Afin de décrire le mouvement du centre d'inertie de projectiles dans un champ de pesanteur uniforme, dans le cas où les frottements peuvent être négligés, nous allons appliquer la deuxième loi de Newton.

1. Etablissement des équations horaires paramétriques.

Afin de décrire le mouvement du boulet, nous allons suivre les étapes suivantes :

- définir le système
- définir le référentiel
- faire le bilan des forces
- appliquer la deuxième loi de Newton
- définir les conditions initiales
- établir les équations horaires paramétriques
- établir l'équation de la trajectoire

- Système : le boulet de masse m
- Référentiel : terrestre supposé galiléen
- Bilan des forces : poids
- Application de la deuxième loi de Newton :

- Conditions initiales :

à t = 0
les coordonnées du vecteur position sont :

les coordonnées du vecteur vitesse sont :

- Etablissement des équations horaires paramétriques :

• Coordonnées du vecteur vitesse à une date t
  
  Les coordonnées du vecteur vitesse sont les fonctions primitives de celles du vecteur accélération
  
  alors

Interprétation :

vx = v0x = 0 alors le mouvement est plan.
vy = v0y = v0 cos a = constante alors le mouvement sur l'axe Oy est uniforme.
az = - g alors le mouvement sur l'axe Oz est uniformément varié.

• Coordonnées du vecteur position à une date t

Les coordonnées du vecteur position sont les fonctions primitives de celles du vecteur vitesse

alors

avec x0 = 0, y0 = 0, z0 = 0, on peut écrire :

Interprétation :

Le mouvement a lieu dans le plan vertical yOz

- Etablissement de l'équation de la trajectoire :

Etablir l'équation de la trajectoire cartésienne de la trajectoire dans le plan vertical yOz consiste à exprimer z en fonction de y.

Il faut éliminer le paramètre temps t

On a :
alors

On remplace cette expression de t dans l'équation
On obtient :

L'équation de la trajectoire est du type : La trajectoire est une parabole.

III. Importance des conditions initiales sur la nature de la trajectoire.

Nous allons faire varier la vitesse initiale, l'angle de tir et la masse du projectile.

Rappel : afin de pouvoir interpréter les résultats, on ne fait varier q'un paramètre à la fois.

Utilisation de l'applet java du site :

http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/ProjectileMotion/jarapplet.html

1. Importance de la vitesse initiale.

Question discussion réponse :

Faites varier la vitesse initiale et indiquer comment varie les grandeurs suivantes :

Distance (portée) :
Hauteur maximale (flèche) :
Durée du tir :

Réponse :

Quand on augmente la vitesse initiale :

Distance (portée) : augmente
Hauteur maximale (flèche) : augmente
Durée du tir : augmente

Question discussion réponse :

Faites varier l'angle initiale et indiquer pour quelle valeur la portée du tir est maximale.

Réponse :

La portée du tir est maximale pour un angle de tir égal à 45°

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I. Les lois de Képler.

1. Approche historique.

D'après un travail d'Eric Butz (IREM de la réunion) www.reunion.iufm.fr

L'astronome Tycho Brahé (1546 - 1601) fait de nombreuses observations très précises sur les trajectoires des planètes.
Képler (1571 - 1630) utilise les résultats de ces observations pour vérifier la théorie de Copernic suivant laquelle les planètes tournent autour du Soleil d'un mouvement circulaire, uniforme, centré au Soleil.
En particulier, une petite différence de 8 minutes d'angles (1 minute d'angle = 1/60ème de degré) entre les observations de Mars par Tycho Brahé et la position calculée de cette planète sur le cercle théorique lui font rejeter le modèle circulaire de Copernic et trouver les deux premières lois :

Première loi de Képler, réécrite par Laplace en 1796 :

" Les orbes des planètes sont des ellipses dont le centre du Soleil occupe l'un des foyers "

Question discussion réponse

Faites un schéma décrivant cette première loi.

Réponse :

Remarque : l'ellipse dessinée est très exagérée pour plus de clarté.

Deuxième loi de Képler, réécrite par Laplace en 1796 :

" Les aires décrites autour de ce centre, par les rayons vecteurs des planètes sont proportionnelles aux temps employés à les décrire "

Question discussion réponse :

Parmi ces trois schémas, quel est celui qui correspond à l'énoncé de la deuxième loi de Képler ?

n°1	n°2	n°3

Réponse :

Le schéma n°2 correspond à l'énoncé de la deuxième loi de Képler

Troisième loi de Képler :

Après un grand nombre de tentatives continuées pendant 17 ans, Kepler réussit à établir une troisième loi reliant la période de révolution T au demi-grand axe a de l'orbite d'une planète autour du Soleil.

Question discussion réponse :

A partir des données du tableau suivant sur lequel Kepler aurait pu travailler, on cherche une relation entre la distance moyenne a d'une planète autour du Soleil et la durée moyenne T de leurs révolutions.

- Tracer sur un tableur le graphe T = f(a) et afficher l'équation de la courbe de tendance.
- Choisir alors la relation appropriée parmi les suivantes :

Réponse :

- Graphe T = f (a)

L'équation de la courbe est y = 0,9992 x^1,4975 , soit environ y = 1 x^1,5

On peut écrire que T = a^3/2

Si on élève cette équation au carré, on obtient T² = a³ , soit = 1
- La relation appropriée est donc = constante

On peut vérifier que ce modèle est valide dans un autre cas comme celui des satellites de Jupiter.

Question discussion réponse

Compléter la dernière colonne du tableau
Concluez

Réponse :

Pour les satellites de Jupiter, le rapport est constant et égal à environ 3,12 x 10^-16
Pour les satellites d'une autre planète, le rapport est également constant mais sa valeur sera différente.
La valeur du rapport est caractéristique de l'astre central autour duquel tourne les planètes ou satellites.

2. Enoncés des lois de Képler.

Première loi : Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d'une planète est une ellipse dont le centre du Soleil est l'un des foyers.

Deuxième loi : Le rayon qui relie le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant les durées égales.

Troisième loi : = constante T : période de révolution a : demi-grand axe

II. Etude d'un mouvement circulaire uniforme.

On constate que l'accélération est radiale comme la force qui lui est colinéaire.
Il possède une vitesse initiale non nulle.

La valeur de la vitesse est constante

s : abscisse curviligne

L'accélération a deux composantes :

- une accélération normale à la trajectoire
- une accélération tangentielle pour un mouvement circulaire uniforme = 0

III. Enoncé de la loi de gravitation universelle pour des corps dont la répartition des masses est à symétrie sphérique et la distance grande devant leur taille.

Universelle : qui s'applique à tous les corps (planètes, comètes, protons…)
Symétrie sphérique : assimilable à un point.

La distance entre les deux centres est notée r.

Pour l'étude de la force attractive du Soleil sur la Terre , on note le vecteur unitaire

Les vecteurs et sont opposés.
La force d'interaction gravitationnelle qui s'exercent entre deux objets ponctuels a pour expression vectorielle :

G est la constante de gravitation universelle. G = 6,67 x 10^-11 N.m².kg^-2
mS : masse du Soleil
mT : masse de la Terre
r : distance entre les centres du Soleil et de le Terre.

De plus :

L'intensité de la force a pour expression :

IV. Application de la deuxième loi de Newton.

L'application de la deuxième loi de Newton permet :

- d'établir l'expression de l'accélération.
- de définir les conditions pour que le mouvement soit circulaire uniforme.
- de déterminer la vitesse et la période de révolution d'un corps en mouvement circulaire uniforme.
- de retrouver la troisième loi de Képler.

1. Etablissement de l'expression de l'accélération.

On étudie l'interaction gravitationnelle du Soleil sur la Terre (celle de la Lune étant négligée).

Système : Terre
Référentiel : Géocentrique
Bilan des forces : force de gravitation universelle du Soleil sur la Terre

Application de la deuxième loi de Newton :

La masse dans l'expression de l'accélération est celle du corps attracteur (ici le Soleil).

Question discussion réponse :

Répondre par VRAI ou FAUX en justifiant votre réponse

- la valeur de la force exercée par le Soleil sur la Terre est supérieure à celle exercée par la Terre sur le Soleil.
- la valeur de l'accélération que subit la Terre dépend de sa masse.

Réponse :

- FAUX car selon le principe des actions réciproques FS/T = FT/S
- FAUX la valeur de l'accélération dépend de la masse du corps attracteur.

2. Quelles sont les conditions pour que le mouvement soit circulaire uniforme ?

On étudie le mouvement d'un palet auto-porteur sur une table à coussin d'air.
Le palet est accroché à un fil accroché à un bord de la table.
Le palet est mis en mouvement avec une vitesse initiale horizontale.

Il décrit un mouvement circulaire uniforme.

Système : un palet auto-porteur de masse m
Référentiel : terrestre supposé galiléen
Bilan des forces : poids, réaction du plan et la force exercée par le fil.
Application de la deuxième loi de Newton :

Le centre d'inertie est soumis à des forces dont la résultante est une force radiale et centripète,
dont l'expression est : vecteur unitaire opposé à

L'intensité de cette force est F = constante

Les conditions pour qu'un solide soit en mouvement circulaire uniforme sont :

- accélération radiale
- force centripète
- force d'intensité constante
- vitesse initiale non nulle

3. Détermination de la vitesse et la période de révolution d'un corps en mouvement circulaire uniforme.

On étudie le mouvement de la vitesse d'un satellite artificiel de masse mS autour de la Terre de masse mT à une distance r = RT + h (h : altitude)

Système : satellite
Référentiel : géocentrique supposé galiléen
Bilan des forces : force de gravitation universelle
Application de la deuxième loi de Newton :

Alors

La vitesse est indépendante de la masse du satellite.

La période T de révolution du satellite autour de la Terre est la durée minimale pour que le satellite effectue un tour complet de la Terre.

Avec RT = 6380 km.

Il ne faut pas confondre :

- période de révolution qui la durée nécessaire pour un solide tourne autour d'un corps central
(exemple : la Terre tourne autour du Soleil en 365,25 jours)
- période propre de rotation qui est la durée nécessaire pour que le solide effectue une rotation sur lui-même (exemple : la période rotation propre de la Terre est de 23 h 56 s)

4. Retrouver la troisième loi de Kepler.

On a établi que
Si on élève au carré cette expression, on obtient :

V. Les satellites géostationnaires.

1. Définition d'un satellite géostationnaire.

Un satellite géostationnaire a une position fixe par rapport à la Terre.

2. Conditions pour qu'un satellite soit géostationnaire :

- La trajectoire est un cercle contenu dans la plan équatorial.
- Son sens de révolution est celui de la rotation de la terre.
- Sa période est égal à un jour sidéral : 23 h 56 min = 86160 s.
- Son altitude (distance du satellite par rapport au sol) est égal à …………….

Question discussion réponse

En utilisant la relation , déterminer à quelle altitude le satellite doit se trouver afin qu'il soit géostationnaire.

Avec :

RT = 6380 km
G = 6,67 x 10^-11 S.I.
mT = 5,98 x 10²⁴ kg
T = 86160 s

Réponse :

VI. Notion d'impesanteur dans le cas d'un satellite en mouvement circulaire uniforme.

1. Définition.

On dit qu'un corps est en état d'impesanteur, lorsqu'il n'est soumis qu'à la seule force de gravitation.
Il ne s'agit donc pas d'une absence de gravitation.

2. Exemples de situations d'impesanteur.

Question discussion réponse

Quel est le point commun entre un astronaute en orbite autour de la Terre à bord de la navette spatiale et une personne dans une tour de chute libre d'un parc d'attraction ?

Source : NASA	Source : parkfunworld

Dans les deux cas, ils sont en chute libre. Ils se retrouvent en état d'impesanteur.

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I. Les oscillateurs vus en terminale S.

Les oscillateurs étudiés en terminale S sont :

- le pendule pesant (simple)
- le pendule élastique (voir le cours suivant)

• horizontal
• vertical (expérimentalement)

II. Le pendule simple.

1. Définitions.

Le pendule simple est un cas particulier de pendule pesant.

1.1. Définition d'un pendule pesant :

Le pendule pesant est un système en rotation autour d'un axe horizontal.
Ecarté de sa position d'équilibre, il oscille sous la seule action de son poids.

Question discussion réponse

Combien il y a-t-il de position d'équilibre pour ce pendule ? Quelle est sa position d'équilibre stable ? Pourquoi ?

Réponse :

Il y a deux positions d'équilibre.

Position d'équilibre instable car si on écarte la sphère de sa position initiale elle ne la retrouvera jamais.
	Position d'équilibre stable car si on écarte la sphère de sa position initiale elle retrouvera cette position au bout de quelques oscillations

1.2. Définition du pendule simple :

Le pendule simple est un pendule pesant dont la masse m accrochée est de petite taille par rapport à la longueur du pendule. (20 x plus petite environ).
Le fil inextensible ou la tige rigide est de masse négligeable devant m.

1.3. Définitions de l'écart à l'équilibre, de l'abscisse angulaire et l'amplitude.

On décrit le mouvement en mesurant une grandeur appelée écart à l'équilibre stable.

Cet écart est une grandeur angulaire notée q (t).

2. Comment retrouver expérimentalement l'expression de la période propre d'un pendule simple et vérifier l'isochronisme des petites oscillations ?

Cette partie est vue en TP.

Isochronisme des petites oscillations : pour des valeurs d'amplitude angulaire relativement faible (qm < 20°), la période des oscillations est indépendante de qm.

Oscillation : variation alternative au cours du temps d'une grandeur autour de sa valeur à l'équilibre.

Remarques sur la mesure de T

Question discussion réponse :

Répondre par VRAI ou FAUX en justifiant votre réponse.

- la mesure de T s'effectue en déclenchant le chronomètre au moment où on lâche la bille.
- la mesure de T s'effectue sur une oscillation (un aller et retour).

Réponse :

FAUX, la mesure de T s'effectue après une ou plusieurs oscillations afin s'affranchir des perturbations dues au lâcher de la bille.

FAUX, le mesure de T s'effectue sur plusieurs oscillations afin d'avoir une plus grande précision de mesure.

Question discussion réponse :

- Proposer une expérience permettant de vérifier l'isochronisme des petites oscillations. Pour cela :

- Décrire le protocole expérimental.
- Indiquer les valeurs de :

- la masse m du solide accroché au fil
- la longueur du pendule (fil + rayon de la bille) L
- l'amplitude choisie qm

- Réaliser cette expérience.
- Noter les résultats expérimentaux dans un tableau.
- Tracer le graphe correspondant sur un tableur.
- Conclure.

Réponse :

- Protocole expérimental :

On choisit une valeur de m et une valeur de L que l'on gardera constante dans toute l'expérience.
On effectue une mesure de T pour différentes valeurs de qm 20°.

- Valeurs choisies :

m = 100,0 g
L = 1,20 m
qm : 5 °, 10°, 15° et 20°

- On réalise l'expérience et on trouve les résultats suivants :

- Graphe T = f (qm)

Conclusion : La période est indépendante de l'amplitude angulaire. La loi d'isochronisme des petites oscillations est vérifiée.

Question discussion réponse :

- Proposer une expérience afin de montrer si la période dépend de la masse m du solide accroché au fil.

- Décrire le protocole expérimental.
- Indiquer les valeurs de :

- la longueur du pendule (fil + rayon de la bille) L
- l'amplitude choisie qm
- les masses m des solides

- Réaliser cette expérience.
- Noter les résultats expérimentaux dans un tableau.
- Tracer le graphe correspondant sur un tableur.
- Conclure.

Réponse :

- Protocole expérimental :

On choisit une valeur de qm et une valeur de L que l'on gardera constante dans toute l'expérience.
On effectue une mesure de T pour différentes valeurs de m.

- Valeurs choisies :

L = 1,20 m
qm = 20°
m = 50,0 g ; 100,0 g ; 150,0 g ; 200,0 g

- On réalise l'expérience et on trouve les résultats suivants :

- Graphe T = f (m)

Conclusion : la période du pendule simple est indépendante de la masse du solide accroché.

Question discussion réponse :

- Proposer une expérience afin de montrer si la période dépend de la longueur L du pendule.

- Décrire le protocole expérimental.
- Indiquer les valeurs de :

- la masse m du solide.
- l'amplitude choisie qm
- les longueurs L du pendule

- Réaliser cette expérience.
- Noter les résultats expérimentaux dans un tableau.
- Tracer le graphe correspondant sur un tableur.
- A quelle fonction mathématique, la courbe obtenue vous fait-elle penser ?
- Réaliser un nouveau graphe afin d'obtenir une relation de proportionnalité.
- Conclure.

Réponse :

- Protocole expérimental :

On choisit une valeur de qm et une valeur de m que l'on gardera constante dans toute l'expérience.
On effectue une mesure de T pour différentes valeurs de L.

- Valeurs choisies :

qm = 20°
m = 100,0 g

- On réalise l'expérience et on trouve les résultats suivants :

- Graphe T = f (L)

Cette courbe ressemble à la fonction
Afin d'obtenir une relation de proportionnalité, on peut tracer le graphe T²= f (L)

Conclusion : L'expression de la période dépend de

Question discussion réponse :

La période du pendule dépend sans doute d'une autre grandeur, mais laquelle ?

L'analyse dimensionnelle permet de définir la nature de cette grandeur.

On note [T] la dimension de la période et [L] la dimension de la longueur du pendule.

A partir des résultats précédents, on peut écrire :

[T] = [L]^1/2. [X]^a

[X] étant la dimension de la grandeur à déterminer.

- Résoudre cette équation aux dimensions en déterminant la dimension de [X] en fonction [T] et [L].
- En déduire la nature de cette grandeur.
- En déduire la nouvelle expression de la période.

Réponses :

Cette grandeur est équivalente à l'inverse d'une accélération. [a] = [L].[T]^-2
La seule accélération que subit le pendule est l'accélération de la pesanteur.
L'expression de la période peut maintenant s'écrire :

Question discussion réponse :

Nous allons vérifier si la nouvelle expression de la période est validée par les résultats expérimentaux.

- Calculer la valeur de T pour L = 1,00 m et g = 10 m.s^-2
- Si le résultat ne correspond pas aux résultats expérimentaux, trouver la valeur de k tel que afin d'obtenir une égalité entre les deux résultats.

- En déduire l'expression définitive de la période en fonction de L, g et p

Réponse :

La valeur expérimentale est 2,00 s

On remarque que k = 2p

Alors l'expression définitive la période est :

3. Amortissement des oscillations.

On étudie le cas d'amortissements faibles des oscillations du pendule.

Ces amortissements sont dues aux forces de frottements fluide (air) et solide (friction sur l'axe).

Question discussion réponse

La pseudo-période T des oscillations faiblement amorties est-elle égale à la période propre T0 ?

On fait osciller un pendule simple de longueur L = 25,0 cm.
On prendra g = 10 m.s^-2

On obtient l'enregistrement suivant de son amplitude angulaire. Comparer T et T0

Réponse :

Sur le graphique, on peut lire la pseudo-période.
On prend 3 oscillations.
On mesure 3T = 3,0 s

Alors la pseudo-période est égale à T = 1,0 s

Par le calcul, on détermine la valeur de la période propre.

Conclusion : T0 T pour des amortissements faibles la pseudo-période T est voisine la période propre T0.

Si les amortissements étaient beaucoup plus élevés, on obtiendrait un régime apériodique.