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Application de la
méthode d'Euler à l'étude de l'établissement
du courant dans un circuit RL
1. Expérience
d'établissement du courant dans un circuit RL
On réalise un circuit
série comportant :
- une bobine L, r d'inductance
L = 0,1 H (indication constructeur) et de résistance
r = 454 W
- une résistance R = 500 W
- un interrupteur
- une alimentation délivrant une tension en créneaux
de 7,2 V et de fréquence f = 2 000 Hz.
On branche un oscilloscope
aux bornes de la résistance R.
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Montage RL avec
oscilloscope |
Mesure de la
résistance de la bobine |
On obtient l'oscillogramme suivant :
Base de temps : 50
ms / division
Calibre : 2 V / div
2. Equation
différentielle.
Le générateur
fournit une tension en créneau (u = 0 puis u
= E et ainsi de suite périodiquement)
On applique la loi d'additivité
des tensions :
3. Résolution
de l'équation différentielle par une méthode
itérative (la méthode d'Euler).
Itérative : par répétition
Euler : Mathématicien
et physicien du 18ème siècle a qui ont doit des
travaux l'astronomie (orbites planétaires, trajectoires
des comètes), les sciences physiques (champs magnétiques,
hydrodynamique, optique, nature ondulatoire de la lumière,...),
les mathématiques, où il met au premier plan le
concept de fonction.
On a 
Soit : 
Que l'on peut écrire
sous la forme :
ou 
Les 3 étapes pour résoudre
cette équation :
- déterminer A
et B
- énoncer le principe de la méthode d'Euler
- appliquer la méthode d'Euler
- Détermination de A
et B
A = 72,0
B = 9540
- Enoncé du principe
de la méthode d'Euler :
an varie en fonction de in
:
an = A
- Bin
in varie en fonction de an
:
in+1 = in+
anDt Dt
est appelé pas du calcul.
- Application de la méthode
d'Euler :
Choix du pas de calcul :
Le pas de calcul est choisi
tel que :
Graphiquement, on peut lire
que la tension maximale u = 7,2 V correspondant à l'intensité
maximale  au
bout de 250 ms
Tableau de calculs itératifs
:
Le remplissage des cases s'effectuent
en suivant les flèches.
Etc....
Ces calculs sont évidemment
beaucoup rapides à réaliser sur un tableur.
Graphe obtenu :
On constate que l'oscillogramme
et le graphe obtenu par la méthode d'Euler ont la même
allure.
Les constantes de temps sont approximativement égales
(aux erreurs de lecture de graphe près) t =
100 ms
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