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Simulation d'une transmission Borg.

Afin d'interférer avec les signaux que les Borgs émettent et ainsi prendre un avantage certain
lors de futurs affrontements, Jean-Luc Picard propose à DATA de réaliser une simulation
électrique de ce signal sinusoïdale.

DATA réalise le circuit suivant :

Il charge au préalable le condensateur
sous la tension E, puis il bascule
l'interrupteur en position 2.
cet à ce moment que commence son
expérience.

Données :

E = 4,5 V R variable
r = 14 W C variable

L variable

1. Quelle grandeur est visualisée sur le voie 1 ?
2. Quelle grandeur est visualisée sur le voie 2 ?
3. DATA se place dans le cas idéal où la résistance totale de la branche comportant
la bobine est nulle.
a. Etablir l'équation différentielle vérifiée par la charge q portée par l'armature A du condensateur.
b. En déduire l'équation différentielle vérifiée par la tension uC aux bornes du condensateur.
c. Vérifier qu'une solution de cette équation différentielle est de la forme
Um, T0 et f0 étant des constantes à déterminer.

4. DATA qui essaye souvent d'amuser l'équipage de l'Enterprise, vous propose un jeu simple ;

complétez une nouvelle démonstration pour établir l'équation différentielle vérifiée par la charge q,
toujours en considérant la résistance totale de la branche comportant la bobine est nulle

Vous présenterez vos réponses sous la forme :
(1) : ………………
(2) : ………………

A chaque instant, l'énergie totale Em du circuit est égale à la somme des énergies stockées dans
le condensateur et la bobine.

L'expression de l'énergie stockée dans le condensateur a pour expression Ec = …(1)…
L'expression de l'énergie stockée dans la bobine a pour expression EL = …(2)…

La somme des énergies stockées dans le condensateur et la bobine étant constante à tout instant,
on peut écrire que =…(3)… alors +…(4) …= (3)
donc = (3)

ainsi l'équation différentielle est …(6)…= (3)

III. Test en conditions réelles du circuit réalisé par DATA.

Dans la pratique, la résistance totale de la branche comportant la bobine n'est pas négligeable. DATA réalise trois expériences afin d'étudier l'influence des différents paramètres sur les oscillations.

Les graphiques a, b, et c (ci-dessous) représentent les variations de la tension uAB et de l'intensité du courant dans le circuit.

Pour les trois graphiques : la courbe en trait épais correspond à la tension, celle en trait fin à l'intensité.

1. Calculer les périodes propres T01, T02, T03 correspondant à chaque expérience E1, E2, E3.
2. Mesurer graphiquement la période des oscillations sur les graphiques a, b, et c
(il s'agit en fait de pseudo-période que l'on pourra confondre avec la période propre).
3. Faire correspondre chaque graphique a, b, et c à une des trois expériences E1, E2, E3 en le justifiant à partir des données des graphiques.

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II.1. On visualise la tension aux bornes du condensateur. 0,25 point

II.2. On visualise la tension aux bornes de la résistance c'est à dire l'intensité du courant car on a

uR = Ri. 0,25 point
II.3.a. On applique la loi d'additivité des tensions : uL + uC = 0 alors avec i = dq / dt 0,5 point
II.3.b. L'équation différentielle vérifiée par uC est : avec q = Cuc 0,5 point
II.3.c. Vérifions que est bien une solution de l'équation différentielle.
Dans un premier temps, dérivons deux fois uC , alors

Dans un second temps, remplaçons dans l'équation différentielle les expressions de uC et de :
0,25 point

Factorisons

Dans un troisième temps, déterminons l'expression de T0. A tout instant cette équation est vérifiée si

Alors 0,25 point

Dans un quatrième temps, déterminons Um et f0 en se plaçant dans les conditions initiales.

A t = 0 on a = 0

alors uc = Um. et f0 = 0 0,25 point
Alors

II.4. (1) = (2) = (3) = 0 (4) = (5) = 0,75 point
(6) =

III.1. = 12,6 x 10^-3 s = 12,3 ms
= 5,6 x 10^-3 s = 5,6 ms 0,75 point

III.2. On détermine les périodes propres par mesure de la durée entre 2 pics et on divise par 2.
On trouve : T01 = T02 = 13 ms et T03 = 6 ms. 0,75 point

III.3. Dans les expériences E1 et E3 les valeurs de L et de C sont les mêmes, alors la période est la même,
ils s'agit donc des graphiques a et b. De plus le graphique b est plus amortie alors il s'agit de
l'expérience 1
car la résistance est plus élevée.

Graphique a : E3
Graphique b : E1
Graphique c : E2 0,75 point