Les sujets proposés sur cette page sont ceux donnés aux élèves de Terminale S de M. Morin.
Ils sont élaborés dans l'esprit des consignes officielles.

Les corrections sont celles données par M. Morin en classe.
Elles ne constituent pas un modèle, mais un exemple des savoirs et des savoir-faire exigibles. 

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EPISODE I : A LA DECOUVERTE DES BORGS

L'histoire commence en 2366 lorsque la Fédération des Planètes Unies
découvre qu'une espèce alien inconnue, appelée les Borgs, veulent envahir la Terre.
Ce sont des êtres mi-homme mi-machine qui n'ont pour seul but : assimiler
l'espèce humaine, c'est à dire de les transformer comme eux.

Un borg

Vous, élèves de terminale S
vous allez être transporté temporellement en 2366 à bord de
l'USS Enterprise pour découvrir des Borgs et aider l'équipage
à résoudre le mystère des Borgs.

Le vaisseau galactique USS Enterprise

Le capitaine Picard de l'USS Enterprise a réussi lors d'une incursion dans l'espace Borg,
a capturé un Borg encore fonctionnel. Il le soumet à divers examens afin de mieux comprendre leur fonctionnement.

Jean-Luc Picard, commandant du vaisseau galactique USS Enterprise.

L'un de ses examens consiste à déterminer les caractéristiques visuelles de l'œil d'un borg.

Il semble que les Borgs utilisent une vision laser au dioxyde de carbone afin de déterminer la dimension d'un objet.
Le laser à CO2 opère à des longueurs d'onde comprises entre 9 mm et 11,5 mm.

I. Propriétés du laser Borg.

1. Rappeler les limites des longueurs d'onde du domaine du visible (en nm).
2. Les radiations du laser Borg font-elles partie du domaine des UV ? des I.R. ? du visible ?

II. Observation d'un phénomène lié au laser Borg.

On utilise le laser Borg produisant une lumière de longueur d'onde l
placé devant un capteur positronique, constitué d'une fente de largeur a et d'un écran.

Document 1

On observe la figure suivante, constituée de tâches lumineuses, sur l'écran positronique
placé à une distance D de la fente.

Document 2

1. Quel est le nom du phénomène observé ?
2. Quelle condition doit satisfaire la taille de la fente pour que l'on obtienne cette figure ?
3. La largeur de la taille centrale d sur l'écran varie lorsque l'on fait varier la distance D
entre la fente et l'écran ; la longueur d'onde l de la lumière, ou la largeur a de la fente.

Une série d'expérience effectuées par le commandeur DATA, androïde unique
dont les capacités physiques et intellectuelles sont très supérieures à celles des humains,
montrent que d est proportionnelle à la longueur d'onde de la lumière.

Le commandeur DATA

k étant une constante sans dimension, le commandeur DATA propose les formules (1), (2), (3), (4) et (5) ci-dessous.

Laquelle ou lesquelles peut-il éliminer ? Justifier vos réponses.

III. Influence de la largeur de la fente du capteur positronique.

Tous les autres paramètres restant inchangés pendant les mesures,
DATA fait varier la largeur a de la fente et mesure les valeurs d correspondantes.

Les résultats sont consignés dans le rapport scientifique n°1 .

Grâce à ses résultats, le commandeur DATA obtient les courbes suivantes :

Préciser laquelle ou lesquelles des formules proposées à la question II. 3 sont encore possibles.

Pourquoi ?

IV. Influence de la distance D entre la fente et l'écran.

Le commandeur DATA fixe l et a ; il déplace l'écran et il obtient les résultats suivants :

1. Quelle courbe est-il judicieux de tracer pour vérifier la réponse à la question III ?
Tracer la représentation graphique de cette courbe en respectant l'échelle suivante :

Abscisse : 1 cm représente 0,1 m
Ordonnée : 1 cm représente 1 mm

2. Expliquer avec soin comment calculer le coefficient directeur p de cette droite.
Déterminer la valeur de p.

3. En déduire la valeur de k, sachant que c'est un entier, et que DATA a fait les
mesures pour l = 633 nm et a = 100 mm

V. Détermination de la dimension d'un fil transwarp par la méthode Borg.

Un fil transwarp servant à la conduction de l'antimatière dans le noyau du moteur de l'enterprise,
placé à la position de la fente du dispositif précédent, produit exactement la même figure sur l'écran.

DATA disposant d'un autre laser de longueur d'onde l = 670 nm, décide de mettre en œuvre
la même expérience utilisant la technologie Borg pour mesurer le diamètre a du fil transwarp
qu'il a placé sur le support. Il obtient une tâche centrale de largeur d = 20 mm lorsque
l'écran est à D = 1,50 m du fil transwarp.

Calculer le diamètre du fil transwarp.

Vous venez de découvrir ainsi l'incroyable acuité visuelle d'un Borg grâce à sa vision laser.

EPISODE II : L'UNICITE BORG

Un mystère demeure au sujet des Borgs, car lorsque des offensives ont été lancées
contre des unités Borgs, d'autres unités Borgs éloignées dans l'espace semblaient
connaître les événements qui se déroulaient en temps réel.
Pourtant, les vaisseaux de la Fédération avait réussi à couper les systèmes de communications
de leurs vaisseaux.

L'hypothèse proposée par Jean-Luc Picard est la possibilité d'une communication télépathique
entre les Borgs, comme s'ils ne formait qu'une seule entité qui était consciente de chaque
événement vécu par chaque unité Borg.

I. Nature de la transmission Borg.

Afin de connaître la nature des signaux Borgs, Jean-Luc Picard demande à la
conseillère Deanna Troi qui est à moitié humaine, à moitié bétazoïde et qui possède
ainsi des capacités télépathiques, d'étudier le Borg capturé dans l'épisode I.

La conseillère Deanna Troi

Voici ses premières conclusions :

Les signaux émis par les unités Borgs se transmettent dans les gaz et dans le vide.
On peut considérer que ces signaux sont assimilables à une onde lumineuse sinusoïdale
monochromatique se propageant dans un milieu non dispersif.

1. S'agit-il d'une onde mécanique ? Justifier votre réponse.
2. La célérité de cette onde dépend-elle de sa fréquence ? Justifier votre réponse.
3. La longueur d'onde du signal dépend-elle de l'indice de réfraction du milieu ? Justifier votre réponse.

II. Simulation d'une transmission Borg.

Afin d'interférer avec les signaux que les Borgs émettent et ainsi prendre un avantage certain
lors de futurs affrontements, Jean-Luc Picard propose à DATA de réaliser une simulation
électrique de ce signal sinusoïdale.

DATA réalise le circuit suivant :

Il charge au préalable le condensateur
sous la tension E, puis il bascule
l'interrupteur en position 2.
cet à ce moment que commence son
expérience.

Données :

E = 4,5 V R variable
r = 14 W C variable

L variable

1. Quelle grandeur est visualisée sur le voie 1 ?
2. Quelle grandeur est visualisée sur le voie 2 ?
3. DATA se place dans le cas idéal où la résistance totale de la branche comportant
la bobine est nulle.
a. Etablir l'équation différentielle vérifiée par la charge q portée par l'armature A du condensateur.
b. En déduire l'équation différentielle vérifiée par la tension uC aux bornes du condensateur.
c. Vérifier qu'une solution de cette équation différentielle est de la forme
Um, T0 et f0 étant des constantes à déterminer.

4. DATA qui essaye souvent d'amuser l'équipage de l'Enterprise, vous propose un jeu simple ;

complétez une nouvelle démonstration pour établir l'équation différentielle vérifiée par la charge q,
toujours en considérant la résistance totale de la branche comportant la bobine est nulle

Vous présenterez vos réponses sous la forme :
(1) : ………………
(2) : ………………

A chaque instant, l'énergie totale Em du circuit est égale à la somme des énergies stockées dans
le condensateur et la bobine.

L'expression de l'énergie stockée dans le condensateur a pour expression Ec = …(1)…
L'expression de l'énergie stockée dans la bobine a pour expression EL = …(2)…

La somme des énergies stockées dans le condensateur et la bobine étant constante à tout instant,
on peut écrire que =…(3)… alors +…(4) …= (3)
donc = (3)

ainsi l'équation différentielle est …(6)…= (3)

III. Test en conditions réelles du circuit réalisé par DATA.

Dans la pratique, la résistance totale de la branche comportant la bobine n'est pas négligeable. DATA réalise trois expériences afin d'étudier l'influence des différents paramètres sur les oscillations.

Les graphiques a, b, et c (ci-dessous) représentent les variations de la tension uAB et de l'intensité du courant dans le circuit.

Pour les trois graphiques : la courbe en trait épais correspond à la tension, celle en trait fin à l'intensité.

1. Calculer les périodes propres T01, T02, T03 correspondant à chaque expérience E1, E2, E3.
2. Mesurer graphiquement la période des oscillations sur les graphiques a, b, et c
(il s'agit en fait de pseudo-période que l'on pourra confondre avec la période propre).
3. Faire correspondre chaque graphique a, b, et c à une des trois expériences E1, E2, E3 en le justifiant à partir des données des graphiques.

EPISODE III : L'ASSIMILATION DU VOYAGEUR TEMPOREL MORIN

Pendant que les membres de l'USS enterprise essayent de comprendre le mécanisme
des borgs, Jean Luc Picard reçoit un message d'un voyageur temporel. Celui provient de
Philippe Morin, qui sous son activité de professeur de Sciences Physiques en l'année 2005,
n'est autre que l'un des représentants de la guilde temporelle chargée de la stabilité du flux temporel.

Lors d'une mission en 2366, il fut capturer par les Borgs qui ont commencé
son assimilation. Cette assimilation consiste à le transformer en Borg à la suite d'une injection
d'un produit chimique : le Borg-H. Il réussi à s'échapper grâce à son transphaseur temporel
et trouver refuge sur l'USS Enterprise. Il demande maintenant au capitaine Picard de lui venir
en aide pour annuler son assimilation.

Un tuyau relie la combinaison Borg au cerveau de P.M. Il sert au transfert du Borg-H qui le transforme en Borg.
Le voyageur Morin en phase d'assimilation, mais optimiste sur les solutions que DATA va trouver.

DATA comprend très vite qu'il faut réussir à lui injecter un antidote.
Mais il faut deux conditions pour que l'antidote soit efficace :
- Il faut connaître exactement la vitesse volumique instantanée d'action du Borg-H.
- Il faut injecter l'antidote exactement à la date correspondant au temps de demi-réaction.

DATA reproduit la réaction dans son laboratoire en mettant en contact 500 mg de Borg-H solide et une solution d'antidote A. Cette réaction entraîne la formation d'un gaz G selon l'équation : Borg-H + A = G

1. On introduit 10 mL de la solution d'antidote A de concentration 0,5 mol.L^-1 dans un ballon. Vérifier que la solution d'antidote permet la consommation totale de Borg-H
(la masse molaire de Borg-H est M = 180 g.mol^-1)
La réaction est suivie par mesure de la pression à l'intérieure d'une enceinte très étanche, car le Borg-H peut contaminer le vaisseau.

Schéma de principe avant la mise en contact des réactifs

- L'apparition du gaz, en supplément de l'air déjà présent, crée une surpression p mesurée au pressiomètre.
- Lorsque le ballon est placé verticalement, le Borg-H tombe dans la solution et la réaction "démarre ".

2. Le suivi expérimental de la pression donne la courbe 1 ci-dessous.

Montrer que si p est exprimé en Pascal et n en mol, on a sensiblement n = 1,21 x 10^-7 p.

La courbe 2 donne l'évolution de la quantité de matière en gaz en fonction du temps.

3. Définir et déterminer graphiquement la vitesse volumique instantanée (en mol.L-1.s^-1) de formation du gaz à la date t0.
4. Peut-on estimer à partir de la courbe que la réaction est terminée ? Justifier votre réponse.
5. Déterminer le temps de demi-réaction de cette réaction. Justifier.
6. Déterminer la quantité de matière gazeuse formée au cours de la réaction.
7. Etablir la relation entre la quantité de gaz formée n et la quantité de Borg-H consommé nBorg-H.
8. En déduire la masse de Borg-H consommé au bout de 600 s. A-t-il été complètement consommé ?

DATA a mis beaucoup trop de temps pour réaliser son expérience, mais Philippe Morin a quand même été sauvé car DATA a fait un saut temporel vers le passé proche pour injecter l'antidote au bon moment.

EPISODE IV : UNION DES HUMAINS, DES KLINGONS ET DES ROMULIENS POUR SAUVER LA GALAXIE

Dans l'épisode précédent, vous avez pris conscience du danger du Borg-H qui transforme tous les êtres en Borg. Les Klingons, d'anciens ennemis et les Romuliens, de nouveaux ennemis, eux aussi ont pris conscience que l'ensemble de la Galaxie était menacée par les Borgs. Ils ont proposés à la Fédération, deux techniques différentes pour mesurer la réactivité du Borg-H en milieu aqueux. Connaître sa réactivité, revient à savoir comment mieux le détruire.
Le Borg-H est un acide qui a pour base conjuguée le Borg-.
La réaction entre la molécule de Borg-H et l'eau modélise la transformation étudiée.

Les parties 1 et 2 ont en commun le calcul de l'avancement final de cette réaction par les deux techniques, Klingon et Romulienne dont la précision sera discutée dans la partie 3.

1. Méthode Klingon : Etude de la transformation chimique par une mesure du pH.

1.1. Déterminer, à l'équilibre, la concentration [H3O⁺]éq, en ions oxonium dans la solution S préparée.
1.2. L'acide Borg-H réagit avec l'eau. Ecrire l'équation de la réaction modélisant cette transformation.
1.3. Déterminer l'avancement final xf de la réaction.
1.4. Déterminer l'avancement maximal xmax de la réaction.
1.5. Déterminer le taux d'avancement final t de la réaction. La transformation étudiée est-elle totale ?

2. Méthode Romulienne : Détermination de la constante d'équilibre de la réaction par conductimétrie.

2.1. Dans les conditions de l'expérience, on peut négliger la contribution d'un des ions à la conductivité de la solution Lequel ? Quelle devient alors l'expression de la conductivité de la solution ?
2.2. Exprimer l'avancement final xf de la réaction entre l'acide Borg-H et l'eau, en fonction de s, des conductivités molaires ioniques utiles et du volume VS.
2.3. En déduire la valeur de xf.
2.4. Calculer les concentrations molaires à l'équilibre des espèces Borg-H, Borg- et H3O⁺.
2.5. Donner l'expression de la constante d'équilibre K associée à l'équation de la réaction entre l'acide Borg-H et l'eau, puis la calculer.

3. Comparaison de la précision des techniques Klingon et Romulienne : pH-métrie et conductimétrie.

Le pH-mètre utilisé donne une valeur de pH précise à 0,1 unité près, et le conductimètre donne une valeur de conductivité précise à 1 mS.m^-1.

La valeur du pH est donc comprise entre 2,8 et 3,0 et celle de la conductivité entre 43 mS.m^-1 et 45 mS.m^-1.
Le tableau ci-dessous indique les valeurs de l'avancement final de la réaction calculées pour ces différentes valeurs de pH et de conductivité.

Conclure brièvement sur la précision des deux techniques, sans procéder à un calcul d'erreur relative.
Laquelle de ces deux techniques proposez-vous d'utiliser pour sauver la Galaxie ?

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